Enhetscirkeln: sinus, cosinus och tangens steg för steg

Enhetscirkeln är en cirkel med radien 1 och medelpunkten i origo i ett koordinatsystem. Varje punkt på cirkeln hör till en vinkel v, mätt moturs från den positiva x-axeln, och punktens koordinater är (cos v, sin v). X-koordinaten är alltså cosinus för vinkeln och y-koordinaten är sinus.

Det gör enhetscirkeln till det viktigaste verktyget i trigonometri efter den rätvinkliga triangeln. Med den kan du ta fram sinus, cosinus och tangens för vinklar större än 90°, hitta exakta värden utan miniräknare och lösa trigonometriska ekvationer. Den här guiden går igenom hur cirkeln ritas, hur värdena avläses, en tabell med exakta värden, radianer, de viktigaste sambanden och övningar med facit.

Vad är enhetscirkeln?

Ordet enhet syftar på att radien är en längdenhet, alltså 1. Cirkeln ritas i ett vanligt koordinatsystem med medelpunkten i origo (0, 0). Den skär x-axeln i punkterna (1, 0) och (−1, 0) och y-axeln i (0, 1) och (0, −1).

Eftersom radien är 1 uppfyller varje punkt (x, y) på cirkeln ekvationen x² + y² = 1. Cirkelns omkrets är 2π ≈ 6,28 och arean är π ≈ 3,14.

Vinklar mäts från den positiva x-axeln. Moturs räknas som positiv riktning och medurs som negativ, så −30° ligger på samma ställe som 330°. Ett helt varv är 360°, och vinklar som skiljer sig med ett helt varv hamnar på samma punkt.

Så avläser du sinus och cosinus i enhetscirkeln

Rita en radie från origo ut till cirkeln så att den bildar vinkeln v med x-axeln. Fäll sedan en lodrät linje från punkten ner till x-axeln. Då får du en rätvinklig triangel där:

• hypotenusan är radien, alltså 1,
• den vågräta kateten är x-koordinaten,
• den lodräta kateten är y-koordinaten.

I en rätvinklig triangel är sinus motstående katet delat med hypotenusan och cosinus närliggande katet delat med hypotenusan. Med hypotenusan 1 blir det:

• sin v = y/1 = y
• cos v = x/1 = x

Det är hela poängen med radien 1: punktens koordinater är direkt de trigonometriska värdena. Triangeldefinitionen fungerar bara för vinklar mellan 0° och 90°, men i enhetscirkeln kan punkten ligga var som helst. Därför används koordinaterna som definition av sinus och cosinus för alla vinklar, även negativa och större än 360°.

Ett exempel: punkten på enhetscirkeln som hör till vinkeln 30° har koordinaterna (√3/2, 1/2). Alltså är cos 30° = √3/2 ≈ 0,866 och sin 30° = 1/2 = 0,5.

Tangens i enhetscirkeln

Tangens är kvoten mellan sinus och cosinus:

tan v = sin v/cos v = y/x

Geometriskt är tangens lutningen hos radien, alltså k-värdet för linjen genom origo och punkten. För 45° är x = y, så tan 45° = 1. När punkten ligger på y-axeln (90° och 270°) är x = 0, och då är tangens inte definierad eftersom man inte kan dela med 0.

Tangens kan också avläsas på linjen x = 1, som tangerar enhetscirkeln i punkten (1, 0). Förlänger du radien tills den skär linjen är skärningspunktens y-koordinat lika med tan v. Därav namnet: tangens kommer av latinets ord för att vidröra.

Exakta värden för sinus, cosinus och tangens

I Matematik 3c och på nationella prov ska standardvinklarnas värden kunna anges exakt, utan decimaler. De kommer från två trianglar: en halv liksidig triangel (30° och 60°) och en likbent rätvinklig triangel (45°).

Ett minnesknep: sinusvärdena för 0°, 30°, 45°, 60° och 90° kan skrivas √0/2, √1/2, √2/2, √3/2 och √4/2. Cosinus går i omvänd ordning. Övriga vinklar i cirkeln får du genom att spegla de här punkterna, vilket visas längre ner.

Radianer: vinklar mätta i cirkelns båglängd

I enhetscirkeln är båglängden från punkten (1, 0) till en punkt på cirkeln lika stor som vinkeln mätt i radianer. Ett helt varv motsvarar omkretsen 2π, så 360° = 2π radianer och 180° = π.

Omräkningen blir:

• grader till radianer: multiplicera med π/180
• radianer till grader: multiplicera med 180/π

Exempel: 120° = 120 · π/180 = 2π/3. Och 5π/4 = 5 · 180°/4 = 225°. En radian är ungefär 57,3°.

Radianer används i Matematik 4 och framåt, bland annat för att derivatan av sin x bara blir cos x när x mäts i radianer. Kontrollera alltid att miniräknaren står i rätt läge, DEG för grader och RAD för radianer.

Kvadranter och tecken

Koordinataxlarna delar cirkeln i fyra kvadranter. Tecknet på x och y avgör tecknet på cosinus och sinus:

Det betyder till exempel att cos 120° är negativt, eftersom punkten ligger till vänster om y-axeln, medan sin 120° är positivt.

Trigonometriska samband ur enhetscirkeln

Flera samband går att se direkt i cirkeln genom att spegla punkten i en axel:

• Trigonometriska ettan: sin² v + cos² v = 1. Det är Pythagoras sats i triangeln med hypotenusan 1. Skrivsättet sin² v betyder (sin v)², samma notation som i guiden om potenser och exponenter.
• Spegling i y-axeln: sin(180° − v) = sin v och cos(180° − v) = −cos v.
• Spegling i x-axeln: sin(−v) = −sin v och cos(−v) = cos v.
• Spegling i linjen y = x: sin(90° − v) = cos v och cos(90° − v) = sin v.
• Ett helt varv: sin(v + 360°) = sin v och cos(v + 360°) = cos v.

Det första speglingssambandet förklarar varför ekvationen sin v = 1/2 har två lösningar mellan 0° och 360°: både 30° och 180° − 30° = 150° ger samma y-koordinat.

Exempel: använda enhetscirkeln steg för steg

Exempel 1. Bestäm cos 135° exakt. 135° ligger i andra kvadranten, 45° från den negativa x-axeln. Punkten är speglingen av 45°-punkten i y-axeln, alltså (−√2/2, √2/2). Svaret är cos 135° = −√2/2.

Exempel 2. Lös sin v = −1/2 för 0° ≤ v < 360°. Värdet 1/2 hör till 30°. Sinus är negativt i tredje och fjärde kvadranten, så punkterna ligger 30° under x-axeln på båda sidor: v = 180° + 30° = 210° och v = 360° − 30° = 330°.

Exempel 3. Lös 2sin² v − sin v − 1 = 0 för 0° ≤ v < 360°. Sätt t = sin v och dela med 2: t² − 0,5t − 0,5 = 0. Med pq-formeln blir t = 0,25 ± √(0,0625 + 0,5) = 0,25 ± 0,75, alltså t = 1 eller t = −0,5. Ur enhetscirkeln ger sin v = 1 vinkeln 90° och sin v = −0,5 vinklarna 210° och 330°. Lösningarna är v = 90°, 210° och 330°.

Testa dina kunskaper: övningar med facit

1. Ange sin 150° exakt. Facit: 1/2, eftersom sin 150° = sin(180° − 30°) = sin 30°.
2. Ange cos 240° exakt. Facit: −1/2. Punkten ligger 60° förbi den negativa x-axeln i tredje kvadranten.
3. Ange tan 300° exakt. Facit: −√3. Punkten är (1/2, −√3/2) och y/x = −√3.
4. Skriv 3π/4 i grader. Facit: 3 · 180°/4 = 135°.
5. Lös cos v = 0 för 0° ≤ v < 360°. Facit: v = 90° och v = 270°, där punkten ligger på y-axeln.

Fler sätt att arbeta med enhetscirkeln

Enhetscirkeln i GeoGebra

I GeoGebra kan du rita cirkeln med kommandot Cirkel((0, 0), 1), sätta en punkt på den och låta programmet visa koordinaterna medan du drar punkten runt. Det är ett snabbt sätt att se hur sinus och cosinus ändras med vinkeln, och hur sinuskurvan växer fram om du ritar y-koordinaten som funktion av vinkeln.

Enhetscirkeln i LaTeX

I digitala prov och matteprogram skrivs gradtecknet med ^\circ och bråk med \frac. Några vanliga uttryck:

• \sin 30^\circ = \frac{1}{2} blir sin 30° = 1/2
• \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} blir cos 45° = √2/2
• \tan v = \frac{y}{x} = \frac{\sin v}{\cos v} blir tan v = y/x
• x^2 + y^2 = 1 är enhetscirkelns ekvation
• 360^\circ = 2\pi och 90^\circ = \frac{\pi}{2}

Vanliga misstag

• Fel koordinat: cosinus är x och sinus är y, inte tvärtom. Tänk alfabetiskt: c före s, x före y.
• Bara en lösning: en ekvation som sin v = 0,8 har två lösningar per varv. Glöm inte den speglade vinkeln.
• Fel läge på räknaren: sin 30 i radianläge ger cirka −0,988 i stället för 0,5.
• Tangens för 90°: värdet finns inte, eftersom x-koordinaten är 0.

Ett oväntat exakt värde

Alla exakta värden kommer inte från 30°, 45° och 60°. Cosinus för 36° är (1 + √5)/4 ≈ 0,809, vilket är exakt hälften av gyllene snittet. Sambandet kommer från den regelbundna femhörningen, där vinklarna är multipler av 36°.