Gyllene snittet är ett förhållande på ungefär 1,618 som uppstår när en sträcka delas i två delar så att hela sträckan förhåller sig till den längre delen på samma sätt som den längre delen förhåller sig till den kortare. Talet betecknas φ, den grekiska bokstaven fi, och på latin heter förhållandet sectio aurea.
Gyllene snittet dyker upp i geometri, i Fibonaccitalen och i bladens placering hos många växter. Inom konst, arkitektur och fotografering har det länge setts som ett mått på harmoni, även om en del av de mest spridda exemplen inte håller vid en närmare granskning.
Vad är gyllene snittet?
Tänk dig en sträcka som delas i en längre del a och en kortare del b. Sträckan är delad i gyllene snittet när
(a + b) / a = a / b
Båda kvoterna blir då samma tal, φ ≈ 1,618. Det omvända förhållandet, b / a, är ungefär 0,618 och skrivs ibland Φ (versalt fi). Uttryckt i procent hamnar delningspunkten alltså vid 61,8 % av hela sträckan räknat från ena änden, och den kortare delen är 38,2 %. Hur procentandelar räknas fram visas i procenträknaren.
Gyllene snittet är ett irrationellt tal, så decimalerna tar aldrig slut: 1,6180339887…
Räkna ut gyllene snittet steg för steg
Det exakta värdet går att härleda ur definitionen.
- Sätt a / b = φ. Då är (a + b) / a = 1 + b/a = 1 + 1/φ.
- Definitionen kräver att 1 + 1/φ = φ.
- Multiplicera båda leden med φ: φ + 1 = φ².
- Skriv om som en andragradsekvation: φ² − φ − 1 = 0.
- Lös med pq-formeln: φ = 1/2 ± √(1/4 + 1) = (1 ± √5) / 2.
- Bara den positiva roten fungerar, eftersom en kvot mellan två längder inte kan vara negativ: φ = (1 + 2,236) / 2 ≈ 1,618.
Steg 3 ger också en praktisk egenskap: φ² = φ + 1 ≈ 2,618 och 1/φ = φ − 1 ≈ 0,618.
Exempel: dela en planka på 100 cm i gyllene snittet. Längre delen: 100 / 1,618 ≈ 61,8 cm. Kortare delen: 100 − 61,8 = 38,2 cm. Kontroll: 100 / 61,8 ≈ 1,618 och 61,8 / 38,2 ≈ 1,618. Båda kvoterna stämmer.
Gyllene snittet och Fibonaccitalen
I Fibonaccis talföljd är varje tal summan av de två föregående: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 och så vidare. Delar man ett tal med talet före närmar sig kvoten gyllene snittet:
| Kvot | Värde |
|---|---|
| 2 / 1 | 2 |
| 3 / 2 | 1,5 |
| 5 / 3 | 1,667 |
| 8 / 5 | 1,6 |
| 13 / 8 | 1,625 |
| 21 / 13 | 1,615 |
| 34 / 21 | 1,619 |
| 55 / 34 | 1,618 |
| 144 / 89 | 1,6180 |
Kvoterna hoppar omväxlande över och under 1,618 och kommer närmare för varje steg. Därför används fibonacciförhållanden som 5:8 och 8:13 ofta som enkla, heltaliga närmevärden.
Gyllene rektangeln och gyllene spiralen
En gyllene rektangel har sidor som förhåller sig som 1 : 1,618. Den kan konstrueras med passare och linjal:
- Rita en kvadrat med sidan 2.
- Markera mitten på kvadratens nedre sida.
- Mät avståndet från mittpunkten till ett av de motsatta hörnen. Med Pythagoras sats blir det √(1² + 2²) = √5 ≈ 2,236.
- Slå en båge med den radien ned till förlängningen av den nedre sidan.
- Den nya långsidan blir 1 + 2,236 = 3,236. Kvoten 3,236 / 2 = 1,618.
Den gyllene rektangeln har en egenskap som gör den speciell: klipper man bort en kvadrat ur den blir resten en ny, mindre gyllene rektangel. Upprepar man det och ritar en kvartscirkel i varje kvadrat uppstår den gyllene spiralen, som ofta används som mall i bildkomposition.
Gyllene snittet finns också i den regelbundna femhörningen. Förhållandet mellan en diagonal och en kant i en regelbunden pentagon är exakt φ, och i pentagrammet återkommer samma förhållande mellan flera av linjerna.
Gyllene snittet i naturen
Det mest underbyggda exemplet gäller växter. Delar man en hel cirkel så att de två bågarna står i gyllene snittet blir den mindre vinkeln 360° · 0,382 ≈ 137,5°, den så kallade gyllene vinkeln. Hos många växter skjuter varje nytt blad ut ungefär 137,5° från det förra, vilket sprider bladen jämnt runt stjälken.
I en solros bildar fröna spiraler åt två håll, och antalet spiraler är ofta två på varandra följande fibonaccital som 34 och 55 eller 55 och 89. Liknande mönster syns i kottar och kålväxter.
Påståenden om att människokroppen följer gyllene snittet, till exempel att naveln delar kroppslängden i förhållandet 1,618, spreds av den tyske filosofen Adolf Zeising på 1800-talet. Proportionerna varierar dock så mycket mellan individer att sådana mätningar sällan bevisar något.
Gyllene snittet i konst och arkitektur
Under renässansen fick gyllene snittet en nästan gudomlig status. Matematikern och franciskanermunken Luca Pacioli kallade det “det gudomliga förhållandet” i De Divina Proportione, som gavs ut i Venedig 1509 med illustrationer av Leonardo da Vinci. Da Vincis teckning av den vitruvianske mannen från omkring 1492 och målningen Mona Lisa nämns ofta som exempel, men det saknas belägg för att han medvetet konstruerade dem efter φ.
Samma osäkerhet gäller Parthenon i Aten och pyramiderna i Giza. Mätningarna beror på vilka punkter man mäter från, och matematikern Keith Devlin har påpekat att påståendet om Parthenon inte stöds av verkliga mätningar. Ett säkert exempel är däremot gamla rådhuset i Leipzig från 1556–57, där tornet delar fasaden i gyllene snittet. Arkitekten Le Corbusier byggde hela sitt måttsystem Le Modulor från 1948 på gyllene snittet och människokroppens mått.
I vardagen ligger några format nära φ utan att vara exakta. Ett kreditkort har sidorna 1 : 1,586, mindre än 2 % från en gyllene rektangel, och den svenska flaggans yttermått är 5:8, alltså 1,6.
Gyllene snittet i fotografering: skillnaden mot tredjedelsregeln
I bildkomposition delas bilden med två vertikala och två horisontella linjer, och huvudmotivet placeras där linjerna korsas. Skillnaden ligger i var linjerna hamnar:
| Regel | Linjer vid | Bild 3 000 pixlar bred |
|---|---|---|
| Tredjedelsregeln | 33,3 % och 66,7 % | 1 000 och 2 000 px |
| Gyllene snittet | 38,2 % och 61,8 % | 1 146 och 1 854 px |
Det gyllene rutnätet lägger alltså skärningspunkterna något närmare mitten. Tredjedelsregeln, som namngavs av John Thomas Smith 1797, är en förenklad variant med lika stora rutor och är lättare att använda i kamerans sökare. Båda bygger på samma idé: ett motiv som placeras utanför mitten ger ofta en mer levande och harmonisk bild än ett som står mitt i.
Vanliga missförstånd
- Att 1,6 och 1,618 är samma sak. Formatet 5:8 är ett närmevärde, inte gyllene snittet.
- Att allt vackert följer φ. Med tillräckligt många mätpunkter går det att hitta 1,618 nästan var som helst.
- Att gyllene spiralen och tredjedelsregeln ger samma placering. Skillnaden är liten men mätbar, cirka 5 procentenheter av bildens bredd.
Gyllene snittets historia
Förhållandet var känt av Pythagoras och de gamla grekerna, som hittade det i femhörningen och pentagrammet. Den första exakta beskrivningen finns hos Euklides omkring 300 f.Kr. I Elementa kallar han det “delning i extrem- och medelförhållande”, och den beteckningen dominerade fram till mitten av 1800-talet. Namnet gyllene snittet användes första gången 1835 av Martin Ohm, bror till fysikern Georg Ohm, i en lärobok i matematik.