Pq-formeln: så löser du andragradsekvationer steg för steg

Pq-formeln är formeln du använder för att lösa andragradsekvationer på formen x² + px + q = 0. Lösningarna ges av

x = −p/2 ± √((p/2)² − q)

där p är koefficienten framför x och q är konstanttermen, talet utan x. Tecknet ± betyder att du får två lösningar, en med plus och en med minus framför roten.

Formeln fungerar bara när det står 1 framför x² och när ekvationen är skriven så att högerledet är 0. Står något annat tal framför x² delar du hela ekvationen med det talet först. Den här guiden visar hur du använder pq-formeln steg för steg, med exempel där p och q är positiva och negativa, vad diskriminanten säger om antalet lösningar och de misstag som oftast ger fel svar.

Vad är pq-formeln?

En andragradsekvation är en ekvation där den högsta potensen av x är 2. I allmän form skrivs den ax² + bx + c = 0, där a, b och c är tal och a inte är 0. Pq-formeln är en lösningsformel för samma ekvation när den är skriven på formen x² + px + q = 0, alltså med a = 1. Bokstäverna p och q har gett formeln dess namn.

I ekvationen x² + 6x + 8 = 0 är p = 6 och q = 8. I ekvationen x² − 4x − 5 = 0 är p = −4 och q = −5. Tecknet hör alltid till talet, och det är den vanligaste felkällan när formeln används.

Formeln är ett av de första verktygen för att lösa andragradsekvationer i gymnasiets matematik, oftast i Matematik 2, och den återkommer sedan i nästan alla senare kurser. Har du läst om potenser och exponenter känner du igen x² som “x i kvadrat”, och det är just kvadraten som gör att ekvationen kan ha två lösningar.

Så använder du pq-formeln för att lösa andragradsekvationer

1. Skriv ekvationen på formen x² + px + q = 0. Flytta alla termer till vänsterledet så att högerledet är 0.
2. Gör koefficienten framför x² till 1. Dela varje term med talet framför x² om det inte redan är 1.
3. Läs av p och q med tecken. p är talet framför x-termen, q är konstanttermen.
4. Sätt in i formeln. Räkna först ut −p/2, sedan (p/2)² − q under rottecknet.
5. Dra roten ur och skriv två lösningar. x₁ med plus och x₂ med minus.
6. Kontrollera genom att sätta in lösningarna i den ursprungliga ekvationen.

Exempel 1: lös ekvationen x² + 6x + 8 = 0

Ekvationen står redan på rätt form, så p = 6 och q = 8.

• −p/2 = −6/2 = −3
• (p/2)² − q = 3² − 8 = 9 − 8 = 1
• x = −3 ± √1 = −3 ± 1

Lösningarna är x₁ = −3 + 1 = −2 och x₂ = −3 − 1 = −4.

Kontroll: (−2)² + 6 · (−2) + 8 = 4 − 12 + 8 = 0 och (−4)² + 6 · (−4) + 8 = 16 − 24 + 8 = 0. Båda stämmer.

Exempel 2: negativa p och q

Lös ekvationen x² − 4x − 5 = 0. Här är p = −4 och q = −5.

• −p/2 = −(−4)/2 = 2
• (p/2)² − q = (−2)² − (−5) = 4 + 5 = 9
• x = 2 ± √9 = 2 ± 3

Lösningarna är x₁ = 5 och x₂ = −1. Lägg märke till de dubbla minustecknen: minus gånger minus ger plus, både i −p/2 och i − q.

Exempel 3: när det står ett tal framför x²

Lös ekvationen 3x² − 15x + 12 = 0. Innan pq-formeln kan användas måste koefficienten framför x² vara 1, så dela varje term med 3:

x² − 5x + 4 = 0

Nu är p = −5 och q = 4.

• −p/2 = 5/2 = 2,5
• (p/2)² − q = 2,5² − 4 = 6,25 − 4 = 2,25
• x = 2,5 ± √2,25 = 2,5 ± 1,5

Lösningarna är x₁ = 4 och x₂ = 1. Kontroll i den ursprungliga ekvationen: 3 · 16 − 15 · 4 + 12 = 48 − 60 + 12 = 0 och 3 · 1 − 15 + 12 = 0.

Exempel 4: skriv om ekvationen först

Lös ekvationen 2x² + 8x = 10. Högerledet är inte 0, så subtrahera 10 från båda leden och dela sedan med 2:

2x² + 8x − 10 = 0 x² + 4x − 5 = 0

Med p = 4 och q = −5 blir x = −2 ± √(4 + 5) = −2 ± √9 = −2 ± 3. Lösningarna är x₁ = 1 och x₂ = −5. Kontroll: 2 · 1 + 8 · 1 = 10 och 2 · 25 + 8 · (−5) = 50 − 40 = 10.

Diskriminanten: hur många lösningar finns det?

Uttrycket under rottecknet, (p/2)² − q, kallas diskriminanten. Den avgör hur många reella lösningar ekvationen har, redan innan du räknat klart.

I ekvationen x² − 6x + 9 = 0 blir x = 3 ± √0 = 3. Båda rötterna sammanfaller, och kurvan y = x² − 6x + 9 nuddar x-axeln i en enda punkt. I ekvationen x² + 2x + 5 = 0 blir x = −1 ± √(−4), och eftersom inget reellt tal i kvadrat är negativt saknas reella lösningar. Med komplexa tal, som kommer i senare kurser, blir lösningarna −1 ± 2i.

Diskriminanten kan också vara positiv utan att vara en jämn kvadrat. Då blir lösningarna irrationella tal. Ekvationen x² − x − 1 = 0 har p = −1 och q = −1:

x = 0,5 ± √(0,25 + 1) = 0,5 ± √1,25

Det ger x₁ ≈ 1,618 och x₂ ≈ −0,618. Den positiva lösningen är gyllene snittet, (1 + √5)/2, och det är så talet räknas fram exakt. Roten ur 1,25 tar du enklast med miniräknaren.

När du inte behöver pq-formeln

Två typer av andragradsekvationer löses snabbare på andra sätt.

Konstanttermen saknas (q = 0). I ekvationen x² + 5x = 0 kan du bryta ut x: x(x + 5) = 0. En produkt är 0 bara om någon faktor är 0, så x = 0 eller x = −5. Det kallas nollproduktsmetoden. Pq-formeln ger samma svar, −2,5 ± √6,25 = −2,5 ± 2,5, men med fler steg.

X-termen saknas (p = 0). I ekvationen x² − 9 = 0 flyttar du över 9 och drar roten ur: x² = 9, så x = 3 eller x = −3. Glöm inte den negativa lösningen.

Kontrollera svaret med p och q

Det finns en snabb kontroll som inte kräver insättning. För en ekvation x² + px + q = 0 gäller att rötternas summa är −p och rötternas produkt är q. I exempel 1 är −2 + (−4) = −6 = −p och (−2) · (−4) = 8 = q. I exempel 2 är 5 + (−1) = 4 = −p och 5 · (−1) = −5 = q. Stämmer båda är lösningarna nästan säkert rätt. Sambandet kallas Vietas formler.

Härledning: varför pq-formeln fungerar

Formeln kommer ur kvadratkomplettering. Utgå från x² + px + q = 0 och flytta q till högerledet:

x² + px = −q

Lägg till (p/2)² i båda leden. Vänsterledet blir då en jämn kvadrat enligt kvadreringsregeln:

x² + px + (p/2)² = (p/2)² − q (x + p/2)² = (p/2)² − q

Dra roten ur båda leden, med ± eftersom både ett positivt och ett negativt tal ger samma kvadrat:

x + p/2 = ± √((p/2)² − q)

Subtrahera p/2 och pq-formeln står där. Härledningen förklarar också diskriminanten: (x + p/2)² kan aldrig vara negativt, så är högerledet negativt finns ingen reell lösning.

Pq-formeln jämfört med abc-formeln

Abc-formeln löser ekvationen ax² + bx + c = 0 direkt, utan att du först delar med a:

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)

De två formlerna ger alltid samma svar. Delar du ax² + bx + c = 0 med a får du p = b/a och q = c/a, och då blir pq-formeln samma uttryck som abc-formeln. I svensk skola är pq-formeln standard, medan abc-formeln är vanligast i till exempel engelskspråkiga och tyska läroböcker. Har a ett krångligt värde kan abc-formeln spara ett steg, men vilken av formlerna du väljer är en smaksak.

Vanliga misstag med pq-formeln

• Fel tecken på p eller q. I x² − 7x + 10 = 0 är p = −7, inte 7. Skriv ut p och q med tecken innan du sätter in.
• Glömmer att dela med a. Pq-formeln på 2x² + 8x − 10 = 0 utan division ger fel svar.
• Högerledet är inte 0. Ekvationen x² + 3x = 4 måste först skrivas x² + 3x − 4 = 0.
• Blandar ihop (p/2)² och p²/2. Med p = 6 är (p/2)² = 9, medan p²/2 = 18.
• Tappar minustecknet framför q. Under roten står (p/2)² − q. Är q negativt blir det plus.
• Bara en lösning. Skriv både x₁ och x₂ så länge diskriminanten är större än 0.

Pq-formeln i LaTeX och på miniräknaren

I matteprogram, digitala prov och på många lärares webbsidor skrivs formler i LaTeX. Där skrivs bråk med \frac, roten med \sqrt, plus/minus med \pm och stora parenteser med \left( och \right). Pq-formeln ser ut så här:

• x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}
• x_{1,2} = -\frac{6}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{6}{2}\right)^2 - 8} = -3 \pm 1 (exempel 1)
• x = \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4} - 4} = \frac{5}{2} \pm \frac{3}{2} (exempel 3)
• x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} (abc-formeln)

På en vanlig miniräknare räknar du ut diskriminanten först, drar roten ur och adderar respektive subtraherar sedan resultatet från −p/2. Använd parenteser runt negativa tal, så att (−4)² blir 16 och inte −16.

Övningar med facit

Lös ekvationerna med pq-formeln. Facit står efter varje uppgift.

1. x² + 2x − 15 = 0. Facit: x = −1 ± √(1 + 15) = −1 ± 4, så x₁ = 3 och x₂ = −5.
2. x² − 10x + 25 = 0. Facit: x = 5 ± √(25 − 25) = 5. En lösning (dubbelrot).
3. 2x² − 4x − 6 = 0. Facit: dela med 2, x² − 2x − 3 = 0, x = 1 ± √(1 + 3) = 1 ± 2, så x₁ = 3 och x₂ = −1.
4. x² + 4x + 7 = 0. Facit: x = −2 ± √(4 − 7) = −2 ± √(−3). Inga reella lösningar.
5. x² + 3x − 1 = 0. Facit: x = −1,5 ± √(2,25 + 1) = −1,5 ± √3,25, så x₁ ≈ 0,30 och x₂ ≈ −3,30.

Pq-formeln på högskoleprovet

Andragradsekvationer dyker även upp i den kvantitativa delen av högskoleprovet, där det ofta lönar sig att först se efter om nollproduktsmetoden eller rötternas summa och produkt ger svaret snabbare än hela formeln. Ekvationen x² − 7x + 12 = 0 har till exempel rötter vars summa är 7 och produkt är 12, och de enda heltal som passar är 3 och 4.