Potenser och potenslagar: så räknar du med exponenter

Potenser är ett kortare sätt att skriva upprepade multiplikationer. I stället för 2 · 2 · 2 · 2 · 2 skriver du 2⁵, som utläses “2 upphöjt till 5” och är lika med 32. Talet som multipliceras kallas basen, och den lilla siffran uppe till höger kallas exponenten. Exponenten anger hur många gånger basen ska multipliceras med sig själv.

För att räkna med potenser behöver du kunna ett litet antal räkneregler, potenslagar. De gör att du kan förenkla uttryck som 2³ · 2⁴ eller x⁷/x² utan att skriva ut varje faktor. Potenser används i hela matematiken, från tiopotenser i fysik och kemi till algebra, ränta och sannolikhet. Den här guiden går igenom grunderna, alla potenslagar och de vanligaste fallgroparna, med uträkningar steg för steg.

Vad är en potens?

En potens består av två delar, en bas och en exponent. I potensen 5³ är 5 basen och 3 exponenten. Uttrycket betyder att 5 multipliceras med sig självt tre gånger:

5³ = 5 · 5 · 5 = 25 · 5 = 125

Ett tal skrivet på det här sättet sägs vara skrivet i potensform. Potensformen blir mer användbar ju fler gånger samma faktor upprepas. Produkten 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 är lika med 15 625, men i potensform är den bara 5⁶. Ska talet 2 multipliceras hundra gånger blir det ohanterligt att skriva ut, medan 2¹⁰⁰ får plats på en rad.

Basen kan också vara en variabel. Produkten x · x skrivs x² i potensform, och x · x · x skrivs x³. Ett tal x upphöjt till 2 kallas också “x i kvadrat”, och upphöjt till 3 “x i kubik”, efter arean av en kvadrat och volymen av en kub.

En exponent på 1 skrivs normalt inte ut. Talet 7 är samma sak som 7¹, och det är bra att komma ihåg när potenslagarna används längre ner.

Så räknar du ut värdet av en potens

Skriv ut faktorerna och multiplicera två i taget. Två exempel:

• 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 9 · 3 · 3 = 27 · 3 = 81
• 4⁵ = 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 16 · 4 · 4 · 4 = 1 024

Tabellen visar hur snabbt potenser växer när exponenten ökar.

Basen 2 dubblas för varje steg, basen 3 tredubblas. Det är samma mekanism som ligger bakom ränta på ränta: 1 000 kronor som växer med 5 procent per år blir efter tre år 1 000 · 1,05³ = 1 000 · 1,157625 ≈ 1 157,63 kronor. Vill du räkna på egna belopp gör räknaren för ränta på ränta det åt dig.

Potenslagar: räkneregler för potenser

Potenslagarna följer direkt av definitionen, att en potens är upprepad multiplikation. De gäller för alla reella tal a och b skilda från noll och för heltalsexponenter x och y, och de flesta gäller även för andra exponenter så länge basen är positiv.

Multiplikation av potenser med samma bas

När två potenser med samma bas multipliceras adderas exponenterna. Skälet syns om du skriver ut faktorerna:

2³ · 2² = (2 · 2 · 2) · (2 · 2) = 2⁵ = 32

Det blir fem tvåor sammanlagt, alltså 3 + 2. Med variabler fungerar det likadant: x⁴ · x³ = x⁷, och x · x² = x¹⁺² = x³.

Division av potenser med samma bas

Vid division av potenser subtraheras exponenten i nämnaren från exponenten i täljaren. I kvoten 2⁴/2² står fyra tvåor i täljaren och två i nämnaren. Två par tar ut varandra och kvar blir 2 · 2:

2⁴/2² = 2⁴⁻² = 2² = 4

Kontrollräkning: 16/4 = 4. Regeln kräver att basen inte är noll, eftersom division med noll inte är definierad.

Potens av en potens

Är en potens själv upphöjd till något multipliceras exponenterna. (3²)² betyder 3² · 3², alltså fyra treor:

(3²)² = 3^{2 · 2} = 3⁴ = 81

Potens av en produkt eller en kvot

En exponent utanför en parentes med en produkt gäller varje faktor: (2 · 5)³ = 2³ · 5³ = 8 · 125 = 1 000. Det stämmer med att 10³ = 1 000. På samma sätt gäller exponenten både täljaren och nämnaren i ett bråk: (2/3)² = 2²/3² = 4/9.

Varför är a upphöjt till 0 lika med 1?

Att ett tal upphöjt till 0 blir 1 ser konstigt ut första gången, men det följer av divisionslagen. Ta vilken potens som helst och dela den med sig själv:

a³/a³ = 1, och enligt divisionslagen är a³/a³ = a³⁻³ = a⁰

Båda svaren måste vara lika, alltså är a⁰ = 1. Det gäller för alla tal utom noll. Uttrycket 0⁰ räknas som odefinierat, eftersom regeln ovan bygger på division med basen.

Potenser med negativ exponent

Samma resonemang förklarar negativa exponenter. Dela 2² med 2⁵:

2²/2⁵ = (2 · 2)/(2 · 2 · 2 · 2 · 2) = 1/2³, och enligt divisionslagen 2²⁻⁵ = 2⁻³

En negativ exponent betyder alltså ett genom potensen med positiv exponent: 2⁻³ = 1/8 = 0,125. På samma sätt är 10⁻² = 1/100 = 0,01. En negativ exponent gör alltså inte talet negativt, den gör det till ett bråk.

Potenser med olika baser

Potenslagarna för multiplikation och division gäller bara när baserna är lika. 2³ · 3² går inte att slå ihop till en enda potens. Räkna i stället ut varje del: 8 · 9 = 72. Det är för övrigt precis så tal skrivs när de delas upp i primfaktorer, vilket du kan läsa mer om i guiden om primtal och primtalsfaktorisering.

Ibland går det att skriva om en bas så att baserna blir lika. Uttrycket 2⁴ · 8 ser ut att ha olika baser, men 8 = 2 · 2 · 2 = 2³:

2⁴ · 8 = 2⁴ · 2³ = 2⁴⁺³ = 2⁷ = 128

Samma knep fungerar med 9 = 3²: 9² · 3 = (3²)² · 3 = 3⁴ · 3¹ = 3⁵ = 243.

Potenser och räkneordningen

Potenser beräknas efter parenteser men före multiplikation, division, addition och subtraktion. Det betyder:

• 2 · 3² = 2 · 9 = 18, inte 6² = 36
• 4 + 2³ = 4 + 8 = 12
• (4 + 2)² = 6² = 36

Minustecken är en vanlig fälla. I −3² gäller exponenten bara trean, så svaret är −9. I (−3)² gäller den hela parentesen, och −3 · (−3) = 9.

Tiopotenser och grundpotensform

En tiopotens är en potens med basen 10. Exponenten anger antalet nollor: 10³ = 1 000 och 10⁶ = 1 000 000. Tiopotenser dyker upp i oväntade sammanhang. En fyrsiffrig kod där varje siffra kan vara 0 till 9 har 10 · 10 · 10 · 10 = 10⁴ = 10 000 möjliga kombinationer, ett exempel som räknas ut i guiden om kombinatorik och multiplikationsprincipen.

Mycket stora och mycket små tal skrivs ofta i grundpotensform, ett tal mellan 1 och 10 gånger en tiopotens:

• 340 000 = 3,4 · 10⁵
• 0,0025 = 2,5 · 10⁻³

Bråk som exponent: rötter

I Matematik 2 utvidgas potenser till exponenter som är bråk. Exponenten 1/2 betyder kvadratroten och exponenten 1/3 betyder kubikroten, förutsatt att basen är positiv:

• 9^1/2 = √9 = 3, eftersom 3² = 9
• 8^1/3 = 2, eftersom 2³ = 8
• 8^2/3 = (8^1/3)² = 2² = 4

Uträkningen i sista raden använder lagen om potens av en potens, eftersom 1/3 · 2 = 2/3.

Vanliga misstag med potenser

• Att multiplicera bas och exponent. 2³ är 8, inte 2 · 3 = 6.
• Att multiplicera exponenterna vid multiplikation. 2³ · 2² är 2⁵, inte 2⁶. Exponenterna multipliceras bara vid potens av en potens.
• Att dela upp en summa. (a + b)² är inte a² + b². Med a = 2 och b = 3 blir (2 + 3)² = 25, medan 2² + 3² = 4 + 9 = 13.
• Att tro att en negativ exponent ger ett negativt svar. 5⁻¹ är 1/5 = 0,2.
• Att glömma parentesen kring negativa tal. −2⁴ = −16, men (−2)⁴ = 16.

Så skriver du potenser på miniräknare och dator

På en miniräknare finns oftast en knapp märkt ^, x^y eller y^x. Du knappar in 3 ^ 4 och får 81. Många räknare har dessutom en egen knapp för x². Med miniräknaren här på sajten kan du kontrollera dina svar.

I kalkylark och i textrutor där upphöjd stil saknas skrivs potensen med cirkumflex, till exempel 2^10 för 2¹⁰. I det matematiska skrivspråket LaTeX, som många matteprogram och läroböcker bygger på, skrivs x i kvadrat som x^{2}, multiplikationspunkten som \cdot och bråk med \frac. Ett par exempel:

• 2 \cdot x^{3} blir 2 · x³
• x^{2} \cdot y^{2} blir x² · y²
• \frac{1}{a^{x}} blir 1/a^x

Övningar med facit

Förenkla eller räkna ut. Lösningen står efter varje uppgift.

1. 3³ · 3². Facit: 3³⁺² = 3⁵ = 243.
2. 5⁷/5⁵. Facit: 5⁷⁻⁵ = 5² = 25.
3. (x³)⁴. Facit: x^{3 · 4} = x¹².
4. 4⁻². Facit: 1/4² = 1/16 = 0,0625.
5. x⁵ · x⁻²/x². Facit: x⁵⁻²⁻² = x¹ = x.
6. 2⁵ · 4. Facit: 4 = 2², så uttrycket är 2⁵⁺² = 2⁷ = 128.

Klarar du de sex uppgifterna har du de räkneregler för potenser som krävs i grundskolans matematik och i Matematik 1 och 2.