Kombinatorik är den gren av matematiken som räknar ut antalet olika sätt något kan ordnas eller väljas på, utan att du behöver lista varje möjlighet. Hur många fyrsiffriga koder finns det? På hur många sätt kan åtta löpare dela på tre medaljer? Hur många olika lottorader går det att fylla i? Alla tre frågorna löses med några få regler: multiplikationsprincipen, fakultet, permutationer och kombinationer.
Kombinatorik är också grunden för sannolikhetslära. För att räkna ut en sannolikhet behöver du ofta veta antalet möjliga utfall, och det är just det kombinatoriken ger. På gymnasiet ingår området i Matematik 5, och uppgifterna är vanliga på nationella prov.
Multiplikationsprincipen: grunden för allt annat
Om ett första val kan göras på m sätt och ett andra val på n sätt, kan de två valen tillsammans göras på m · n sätt. Det är multiplikationsprincipen, och nästan all kombinatorik bygger på den.
Har du 3 tröjor och 4 byxor kan du klä dig på 3 · 4 = 12 olika sätt. Principen fungerar för hur många steg som helst: lägg till 2 par skor, och antalet blir 3 · 4 · 2 = 24 olika sätt.
Exempel 1: en fyrsiffrig kod. Varje siffra väljs bland siffrorna 0 till 9, alltså 10 möjligheter per position.
- Om varje siffra får förekomma flera gånger: 10 · 10 · 10 · 10 = 10 000 koder.
- Om alla siffror måste vara olika: 10 · 9 · 8 · 7 = 5 040 koder, eftersom varje använd siffra försvinner ur urvalet.
Den andra uträkningen visar mönstret som återkommer i resten av guiden: antalet möjligheter minskar med ett för varje steg när samma föremål inte får användas två gånger.
Fakultet: antalet sätt att ordna allt
Hur många olika ordningsföljder kan 5 böcker stå i på en hylla? Den första platsen kan få 5 böcker, den andra 4, den tredje 3 och så vidare: 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.
Produkten kallas fakultet och skrivs med utropstecken efter talet, 5! (utläses “fem fakultet”). Allmänt är n fakultet produkten n · (n − 1) · (n − 2) · … · 2 · 1.
| n | n! |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 3 | 3 · 2 · 1 = 6 |
| 4 | 4 · 3 · 2 · 1 = 24 |
| 5 | 120 |
| 10 | 3 628 800 |
Fakultet växer extremt snabbt. Redan 10 böcker kan ordnas på mer än 3,6 miljoner sätt. Att 0! är 1 är en definition: det finns ett enda sätt att ordna ingenting.
Permutationer: när ordningen spelar roll
En permutation är ett urval där ordningen spelar roll. Åtta löpare tävlar om guld, silver och brons. Guldet kan gå till 8 personer, silvret till de 7 som är kvar och bronset till 6. Antalet permutationer blir 8 · 7 · 6 = 336.
Formeln för att välja k föremål av n i ordning är:
P(n, k) = n! / (n − k)!
Med siffrorna ovan: 8! / 5! = 8 · 7 · 6 = 336, eftersom faktorerna 5 · 4 · 3 · 2 · 1 tar ut varandra. Att ordna 3 bokstäver a, b, c ger 3! = 6 permutationer: abc, acb, bac, bca, cab och cba.
Kombinationer och binomialkoefficienten
En kombination är ett urval där ordningen inte spelar roll. Väljer du 2 av 7 personer till en kommitté spelar det ingen roll vem som väljs först. Räkna först som om ordningen spelade roll, 7 · 6 = 42, och dela sedan med antalet sätt de två valda kan ordnas inbördes, 2! = 2. Antalet kombinationer blir 42 / 2 = 21.
Talet kallas binomialkoefficient, skrivs “n över k” och räknas ut så här:
C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)
Exempel 2: välj ut 3 av 8. C(8, 3) = (8 · 7 · 6) / (3 · 2 · 1) = 336 / 6 = 56. Jämför med permutationsexemplet: samma 336 ordnade urval, men varje grupp om tre har räknats 6 gånger.
Formeln ger också symmetri: C(n, k) = C(n, n − k). Att välja 3 av 8 som ska med är samma sak som att välja 5 av 8 som ska stå över, och båda ger 56.
Permutation eller kombination?
Den viktigaste frågan i varje kombinatoriskt problem är om ordningen spelar roll. Byt plats på två av de valda: blir det ett nytt utfall är det en permutation, annars en kombination.
| Fråga | Spelar ordningen roll? | Metod | Svar |
|---|---|---|---|
| Guld, silver, brons bland 8 | Ja | 8 · 7 · 6 | 336 |
| Fyrsiffrig kod, olika siffror | Ja | 10 · 9 · 8 · 7 | 5 040 |
| 3 av 8 till en grupp | Nej | C(8, 3) | 56 |
| Lottorad, 7 av 35 | Nej | C(35, 7) | 6 724 520 |
| Pokerhand, 5 av 52 kort | Nej | C(52, 5) | 2 598 960 |
Avgör också om samma föremål får väljas flera gånger. En kod där siffror får upprepas räknas med potenser (10⁴), ett urval utan återläggning med fallande faktorer.
Pascals triangel och binomialsatsen
Binomialkoefficienterna går att ställa upp i Pascals triangel, där varje tal är summan av de två talen snett ovanför:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1Rad 4 (räknat från 0) innehåller C(4, 0) till C(4, 4): 1, 4, 6, 4 och 1. Samma tal dyker upp som koefficienterna när du utvecklar en potens av en summa, och det sambandet kallas binomialsatsen:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴
Koefficienterna framför termerna är exakt rad 2 och rad 4 i triangeln. Det är därför C(n, k) kallas binomialkoefficient.
Kombinatorik i sannolikhetslära
Sannolikheten för en händelse är antalet gynnsamma utfall delat med antalet möjliga utfall, och kombinatoriken räknar båda. Grunderna går vi igenom i vad sannolikhet är.
- Lotto: det finns 6 724 520 sätt att välja 7 av 35 nummer, så en enskild rad har chansen 1 på 6 724 520 att få alla rätt. Hela uträkningen finns i guiden om chansen att vinna på Lotto.
- Yatzy: fem tärningar kan landa på 6⁵ = 7 776 sätt. Sex av dem är yatzy (fem ettor, fem tvåor och så vidare), så chansen i ett enda kast är 6 / 7 776 = 1 / 1 296. Testa själv med en tärning online.
- Födelsedagar: i en grupp på 23 personer finns C(23, 2) = 23 · 22 / 2 = 253 par, vilket förklarar födelsedagsparadoxen.
Spel om pengar bör ses som underhållning. Den som vill ha stöd kring sitt spelande kan kontakta Stödlinjen på stodlinjen.se eller 020-81 91 00.
Vanliga misstag
- Fel metod för ordningen. Det vanligaste felet är att räkna permutationer när ordningen inte spelar roll, vilket ger ett svar som är k! gånger för stort.
- Glömd återläggning. Får samma siffra förekomma flera gånger ska antalet inte minska för varje steg.
- Addera i stället för att multiplicera. Steg som görs efter varandra multipliceras. Addition gäller bara när alternativen utesluter varandra, till exempel “en tröja eller en jacka”.
- Dubbelräkning. Sex personer som alla skakar hand med varandra ger inte 6 · 5 = 30 handslag utan 30 / 2 = 15, eftersom varje handslag annars räknas två gånger.
Övningar steg för steg med facit
- På hur många sätt kan 5 personer ställa sig i en kö?
- En klass har 25 elever. På hur många sätt kan en ordförande och en sekreterare väljas?
- På hur många sätt kan 3 av 10 elever väljas till en grupp?
- Hur många fyrsiffriga koder kan bildas av siffrorna 1 till 5 om varje siffra får förekomma flera gånger?
Facit:
- Ordningen spelar roll och alla ingår: 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 sätt.
- Ordningen spelar roll, eftersom posterna är olika: 25 · 24 = 600 sätt.
- Ordningen spelar ingen roll: C(10, 3) = (10 · 9 · 8) / (3 · 2 · 1) = 720 / 6 = 120 sätt.
- Med upprepning: 5 · 5 · 5 · 5 = 5⁴ = 625 koder.
Lägg märke till att uppgift 1 och 3 båda ger 120, men av helt olika skäl. Det är ett bra exempel på varför det lönar sig att alltid börja med frågan om ordningen spelar roll, innan du väljer formel.