Ett resultat som känns fel
Har du någonsin hört påståendet att det bara krävs 23 personer i ett rum för att chansen att två av dem har samma födelsedag, dag och månad, inte år, ska passera 50 procent? De flesta tycker det låter orimligt högt. Året har trots allt 365 dagar, och 23 är en liten grupp jämfört med det. Men påståendet stämmer, och just glappet mellan intuition och uträkning är anledningen till att det brukar kallas en paradox, även om det matematiskt sett inte är någon motsägelse alls, bara ett resultat som strider mot magkänslan.
Varför magkänslan har fel
Misstaget de flesta gör är att tänka på frågan som hur stor är chansen att någon annan har samma födelsedag som jag, en jämförelse i taget, 22 stycken i en grupp på 23. Men frågan som faktiskt ställs är om några två personer i hela gruppen delar födelsedag, och det handlar om alla par som går att bilda i gruppen, inte bara par som involverar en specifik person.
I en grupp på 23 personer går det att bilda 23 gånger 22 delat med 2, alltså 253 olika par. Varje par är en egen chans till en träff, och med 253 oberoende chanser att jämföra blir den sammanlagda sannolikheten för minst en träff betydligt högre än vad man skulle tro utifrån en enda jämförelse.
Räkna via komplementet, steg för steg
Det enklaste sättet att räkna ut sannolikheten är, precis som för andra minst en gång-frågor, att räkna på motsatsen: sannolikheten att ingen delar födelsedag, och sedan dra bort det talet från 1. Principen beskrivs mer i grunden i vad sannolikhet är.
Tänk dig att personerna kommer in i rummet en och en. Den första personen kan ha vilken födelsedag som helst, ingen konflikt är möjlig än: sannolikheten att fortfarande inte ha någon krock är 365/365.
Den andra personen får inte dela dag med den första: 364 av 365 dagar är fortfarande lediga, alltså 364/365.
Den tredje får inte dela dag med någon av de två första: 363/365.
Så fortsätter det, en nämnare mindre för varje ny person, ända till person nummer 23, som inte får dela dag med någon av de 22 tidigare: 365 minus 22 delat med 365, det vill säga 343/365.
Multiplicerar du ihop alla 23 bråken, 365/365 gånger 364/365 gånger 363/365 och så vidare ner till 343/365, får du sannolikheten att ingen delar födelsedag, vilket blir ungefär 0,4927.
Sannolikheten att minst två delar födelsedag är då 1 minus 0,4927, det vill säga 0,5073, alltså 50,7 procent. Med bara 23 personer i rummet är chansen alltså större än hälften.
Fler personer, snabbt växande chans
Sannolikheten fortsätter växa snabbt med varje person som läggs till, eftersom antalet par växer kvadratiskt medan antalet dagar på året står still. Med 57 personer i rummet har sannolikheten för en delad födelsedag stigit till ungefär 99 procent, nästan säkert, trots att 57 fortfarande är en bråkdel av 365.
Pröva själv
Vill du se effekten med egna ögon går det att simulera: slumpa nummer mellan 1 och 365 ett antal gånger som motsvarar en gruppstorlek, låt varje tal representera en födelsedag, och räkna hur ofta samma tal dyker upp mer än en gång i en omgång. Upprepar du det många gånger brukar andelen omgångar med en träff, för en grupp på 23, landa runt just hälften. Sannolikheten går också att räkna om till procent med en procenträknare, om du vill dubbelkolla uträkningen ovan för valfri gruppstorlek.