Normalfördelning är en sannolikhetsfördelning där de flesta värden ligger nära medelvärdet och allt färre ju längre bort från det man kommer. Kurvan är klockformad och symmetrisk kring medelvärdet, och den bestäms helt av två tal: medelvärdet μ (mu) och standardavvikelsen σ (sigma).
Många fenomen i naturen och samhället är ungefär normalfördelade, till exempel vuxnas längd, nyfödda barns vikt och mätfel i ett laboratorium. När data följer en normalfördelning räcker medelvärde och standardavvikelse för att räkna ut sannolikheten att ett värde hamnar i ett visst intervall.
Hur ser en normalfördelning ut?
En normalfördelningskurva har formen av en kulle med toppen vid medelvärdet. På x-axeln står de möjliga värdena och höjden visar hur vanliga de är. Kurvan har några egenskaper som alltid gäller:
- Symmetrisk kring medelvärdet. Hälften av värdena, 50 %, ligger under medelvärdet och hälften över.
- Medelvärde, median och typvärde sammanfaller i kurvans topp.
- Medelvärdet flyttar kurvan i sidled, utan att ändra formen.
- Standardavvikelsen ändrar formen. Låg standardavvikelse ger en hög och smal kurva, hög standardavvikelse en låg och bred. Kurvan ser alltså olika ut för olika värden på μ och σ, men grundformen är alltid densamma.
- Arean under kurvan är 1, alltså 100 %. Sannolikheten att ett värde hamnar i ett intervall är arean under kurvan över det intervallet.
En normalfördelad variabel X betecknas X ~ N(μ, σ²), i LaTeX X \sim N(\mu, \sigma^2), där den andra parametern är variansen. En del svenska läroböcker skriver N(μ, σ) med standardavvikelsen i stället, så läs alltid hur boken definierar beteckningen. Normalfördelningen kallas också Gaussfördelning eller Gausskurva efter matematikern Carl Friedrich Gauss, och klockkurva efter formen.
68–95–99,7-regeln
Det mest användbara med normalfördelningen är att andelen värden inom ett visst antal standardavvikelser från medelvärdet alltid är densamma, oavsett vad som mäts:
| Intervall | Andel av värdena |
|---|---|
| μ ± 1σ (inom en standardavvikelse) | cirka 68 % |
| μ ± 2σ (inom två standardavvikelser) | cirka 95 % |
| μ ± 3σ (inom tre standardavvikelser) | cirka 99,7 % |
Eftersom kurvan är symmetrisk kan andelarna delas upp per band på varje sida om medelvärdet: 34 % mellan μ och μ + σ, 13,5 % mellan μ + σ och μ + 2σ, 2,35 % mellan μ + 2σ och μ + 3σ och 0,15 % längre bort än tre standardavvikelser. Samma andelar gäller på den negativa sidan. Mer exakt är siffrorna 68,27 %, 95,45 % och 99,73 %, men de avrundade värdena används i skolan.
Hur standardavvikelsen räknas ut från en datamängd går igenom i guiden om standardavvikelse.
Räkna med normalfördelning steg för steg
En maskin fyller kaffepaket. Vikten är normalfördelad med medelvärdet 500 g och standardavvikelsen 4 g.
Hur stor andel väger mellan 492 och 508 g? 492 = 500 − 2 · 4 och 508 = 500 + 2 · 4. Intervallet är alltså två standardavvikelser åt varje håll, och svaret blir cirka 95 %.
Hur stor andel väger mindre än 492 g? Utanför μ ± 2σ ligger 100 − 95 = 5 %. Hälften av det ligger under intervallet: 5 / 2 = 2,5 %.
Hur stor andel väger mer än 504 g? 504 g är en standardavvikelse över medelvärdet. Över medelvärdet ligger 50 %, och 34 % av dem ligger mellan 500 och 504 g. Kvar blir 50 − 34 = 16 %.
Hur stor andel väger mellan 496 och 508 g? Från −1σ till +2σ: 34 + 34 + 13,5 = 81,5 %.
Värdena behöver inte vara heltal för att metoden ska fungera, men regeln ger bara svar när gränserna ligger på hela standardavvikelser. För andra gränser behövs z-värden.
Standardiserad normalfördelning: så hjälper z-värdet
Alla normalfördelningar kan räknas om till den standardiserade normalfördelningen N(0, 1), som har medelvärdet 0 och standardavvikelsen 1. Omräkningen görs med z-värdet:
z = (x − μ) / σ
Z-värdet visar hur många standardavvikelser ett värde avviker från medelvärdet. Sannolikheten att hamna under ett visst z-värde, Φ(z), står i tabeller för den standardiserade normalfördelningen:
| z | Φ(z), andel under |
|---|---|
| 0 | 0,5000 |
| 0,5 | 0,6915 |
| 1 | 0,8413 |
| 1,5 | 0,9332 |
| 1,96 | 0,9750 |
| 2 | 0,9772 |
| 2,5 | 0,9938 |
| 3 | 0,9987 |
Exempel. Hur stor andel av kaffepaketen väger mer än 506 g?
- z = (506 − 500) / 4 = 6 / 4 = 1,5.
- Tabellen ger Φ(1,5) = 0,9332, så 93,32 % väger mindre än 506 g.
- Andelen som väger mer är 1 − 0,9332 = 0,0668, alltså cirka 6,7 %.
Tabellen kan också användas baklänges. Vilken vikt överskrids av 97,5 % av paketen? Φ(1,96) = 0,975, så gränsen ligger 1,96 standardavvikelser under medelvärdet: 500 − 1,96 · 4 = 492,16, alltså cirka 492,2 g.
För negativa z-värden används symmetrin: Φ(−z) = 1 − Φ(z). Andelen under z = −1 är därför 1 − 0,8413 = 0,1587, vilket stämmer med de 16 % som räknades ut ovan.
Formeln för normalfördelningens täthetsfunktion
Kurvans exakta form ges av täthetsfunktionen:
f(x) = 1 / (σ√(2π)) · e^(−(x − μ)² / (2σ²))
Faktorn 1 / (σ√(2π)) gör att arean under kurvan blir exakt 1. Uttrycket (x − μ)² i exponenten gör kurvan symmetrisk kring μ, och 2σ² i nämnaren bestämmer hur snabbt den faller av. Täthetsfunktionen går inte att integrera med vanliga primitiva funktioner, och därför används tabeller eller digitala verktyg för att få fram sannolikheter.
I LaTeX, som många använder för rapporter och labbar, skrivs formeln f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}}.
I svenska Excel räknar NORM.FÖRD(x; medelvärde; standardavvikelse; SANT) ut andelen under x, och i GeoGebra finns en sannolikhetsräknare där normalfördelningen ritas upp och arean under kurvan markeras.
Varför är så mycket normalfördelat?
Förklaringen är den centrala gränsvärdessatsen. Den säger att summan av många oberoende slumpmässiga bidrag blir ungefär normalfördelad, oavsett hur varje enskilt bidrag är fördelat. En människas längd påverkas av många gener och miljöfaktorer, och ett mätfel uppstår ur många små störningar. Därför är kurvan så vanlig.
Ett exempel som går att testa själv är att singla slant 100 gånger och räkna antalet krona. Varje kast är ett rent slumpförsök med sannolikheten 0,5, men antalet krona efter 100 kast är ungefär normalfördelat med medelvärdet 50 och standardavvikelsen √(100 · 0,5 · 0,5) = √25 = 5. Det gör att man kan approximera antalet krona med en normalfördelning, och ungefär 95 % av alla sådana serier hamnar mellan 40 och 60 krona.
Normalfördelning inför nationella prov och i praktiken
Typiska provuppgifter i Matematik 2
Normalfördelning ingår i statistikavsnittet i Matematik 2, och uppgifter om den återkommer på nationella prov. Elever får typiskt ett medelvärde, en standardavvikelse och ett intervall och ska avgöra hur stor andel som hamnar där, eller räkna baklänges från en andel till standardavvikelsen. Ett exempel: om 95 % av en grupp är mellan 160 och 180 cm långa och medelvärdet är 170 cm, är 10 cm två standardavvikelser, och standardavvikelsen blir 10 / 2 = 5 cm. Rita alltid kurvan och markera medelvärdet först, det gör det lätt att se vilka band som ska summeras. Medelvärdet för en egen datamängd kan räknas ut med räknaren för medelvärde.
Vanliga misstag
- Glömma att halvera. De 5 % utanför μ ± 2σ fördelas på båda sidor, bara 2,5 % ligger under.
- Blanda ihop varians och standardavvikelse i beteckningen N(μ, σ²). Är variansen 16 är standardavvikelsen 4.
- Läsa tabellen som andel över i stället för under. Φ(z) är alltid andelen under z.
- Använda regeln på data som inte är normalfördelade.
När data inte är normalfördelade
Inkomster, bostadspriser och väntetider är snedfördelade, med en lång svans åt ena hållet. Där stämmer 68–95–99,7-regeln inte, och medianen beskriver mitten bättre än medelvärdet. Ett histogram över datan visar snabbt om formen påminner om en symmetrisk kulle eller inte. Även tärningskast har en annan form: en enskild tärning är likformigt fördelad, och först när många tärningar summeras närmar sig fördelningen normalfördelningen.