Standardavvikelse är ett statistiskt mått på spridning. Den visar hur långt värdena i en datamängd i genomsnitt ligger från medelvärdet. En låg standardavvikelse betyder att värdena ligger tätt samlade nära medelvärdet, en hög standardavvikelse att de är utspridda.
Medelvärdet talar om var mitten ligger, standardavvikelsen om hur mycket värdena varierar kring den mitten. Därför används de nästan alltid tillsammans i statistik, från provresultat och mätningar till väderdata och kvalitetskontroll.
Vad är standardavvikelse? Definition och beteckning
Standardavvikelse definieras som kvadratroten ur variansen. Variansen är i sin tur medelvärdet av de kvadrerade avvikelserna från medelvärdet. Standardavvikelsen för en hel population betecknas med den grekiska bokstaven sigma (σ), medan standardavvikelsen för ett stickprov betecknas med s.
Två datamängder kan ha samma medelvärde men helt olika spridning:
| Datamängd | Värden | Medelvärde | Standardavvikelse |
|---|---|---|---|
| A | 4, 5, 5, 6 | 5 | ≈ 0,71 |
| B | 1, 3, 7, 9 | 5 | ≈ 3,16 |
I A ligger alla värden nära medelvärdet. I B är avvikelserna −4, −2, 2 och 4, och de kvadrerade avvikelserna blir 16, 4, 4 och 16. Summan 40 delat med 4 ger variansen 10, och √10 ≈ 3,16. Medelvärdet ensamt hade inte avslöjat skillnaden.
Formeln för standardavvikelse
Det finns två varianter av formeln, beroende på om datan är hela populationen eller ett stickprov ur den.
Population: σ = √( Σ(x − μ)² / N )
Stickprov: s = √( Σ(x − x̄)² / (n − 1) )
Här är x varje enskilt värde, μ populationens medelvärde, x̄ stickprovets medelvärde, Σ betyder summan av alla termer och N eller n är antalet observationer. Det enda som skiljer formlerna åt är att man i stickprovsformeln dividerar med n − 1 i stället för N. Med formeln ovan går det att beräkna standardavvikelsen för vilken datamängd som helst, men det är lättast att följa den i ordning, som i exemplet nedan.
Avvikelserna kvadreras av två skäl. Summan av de vanliga avvikelserna blir alltid noll, eftersom värden över och under medelvärdet tar ut varandra. Kvadreringen gör alla avvikelser positiva och låter stora avvikelser väga tyngre än små. Roten på slutet ger sedan tillbaka samma enhet som de ursprungliga värdena.
Beräkning av standardavvikelse steg för steg
Ett räkneexempel: en buss mäts under åtta dagar och är försenad 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 och 9 minuter.
| Värde x | Avvikelse x − x̄ | Kvadrerad avvikelse |
|---|---|---|
| 2 | −3 | 9 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 5 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 |
| 7 | 2 | 4 |
| 9 | 4 | 16 |
| Summa | 0 | 32 |
Steg 1. Beräkna medelvärdet. Summan av värdena är 40, och 40 / 8 = 5 minuter. Uträkningen kan kontrolleras i räknaren för medelvärde.
Steg 2. Räkna ut avvikelserna. Dra av medelvärdet från varje värde. Avvikelserna summerar till 0, precis som de alltid gör.
Steg 3. Kvadrera och summera. Summan av de kvadrerade avvikelserna är 32.
Steg 4. Beräkna variansen. Om de åtta dagarna är hela populationen dividerar man med 8: 32 / 8 = 4. Är de ett stickprov ur en större population dividerar man med 8 − 1 = 7: 32 / 7 ≈ 4,57.
Steg 5. Ta kvadratroten. Populationens standardavvikelse blir √4 = 2 minuter. Stickprovets standardavvikelse blir √4,57 ≈ 2,14 minuter.
Resultatet betyder att förseningarna typiskt avviker ungefär 2 minuter från medelvärdet på 5 minuter. Standardavvikelsen är inte exakt samma sak som den genomsnittliga avvikelsen, eftersom kvadreringen låter de största avvikelserna väga tyngre, men de två hamnar i samma storleksordning.
Stickprov eller population: när delar man med n − 1?
Populationen är alla enheter man vill veta något om, till exempel alla elever i en årskurs. Ett stickprov är ett urval ur populationen, till exempel 50 elever som svarat på en enkät. I praktiken är datan nästan alltid ett stickprov.
Avvikelserna i ett stickprov räknas från stickprovets eget medelvärde, och det ligger alltid lite närmare datan än populationens sanna medelvärde. Summan av de kvadrerade avvikelserna blir därför i genomsnitt för liten. Att dela med n − 1 rättar till det och ger en bättre uppskattning av hela populationens spridning. Skillnaden är stor när antalet observationer är litet och nästan försumbar när det är stort.
I svenska Excel beräknar funktionen STDAV.P standardavvikelsen för en population och STDAV.S för ett stickprov.
Hur tolkar man låg och hög standardavvikelse?
Standardavvikelsen har samma enhet som datan, så den går att läsa direkt: en standardavvikelse på 2 minuter betyder att en typisk försening ligger runt 2 minuter från medelvärdet.
- Låg standardavvikelse: värdena ligger nära medelvärdet. En maskin som fyller förpackningar med jämn vikt har låg spridning.
- Hög standardavvikelse: värdena är utspridda. Resultaten på ett prov där vissa får full pott och andra nästan noll ger en större standardavvikelse.
- Standardavvikelse 0: alla värden är lika.
Om något är högt eller lågt beror på sammanhanget. Ett vanligt sätt att jämföra är att relatera standardavvikelsen till medelvärdet. En spridning på 2 är stor om medelvärdet är 5 men liten om det är 500.
Standardavvikelse och normalfördelning
När data följer en normalfördelning, den klockformade kurvan, säger standardavvikelsen exakt hur stor andel av värdena som hamnar nära medelvärdet:
| Intervall | Andel av värdena |
|---|---|
| Inom 1 standardavvikelse från medelvärdet | cirka 68 % |
| Inom 2 standardavvikelser | cirka 95 % |
| Inom 3 standardavvikelser | cirka 99,7 % |
IQ-test är normerade med medelvärdet 100 och standardavvikelsen 15. Ungefär 68 % av befolkningen har därför ett resultat mellan 85 och 115, och ungefär 95 % mellan 70 och 130. Regeln gäller bara för normalfördelad data. Med en sned fördelning, som inkomster, säger standardavvikelsen mindre, och då kan medianen vara ett bättre lägesmått.
Vanliga misstag när man räknar ut standardavvikelsen
- Glömma kvadratroten. Svaret blir då variansen, som har kvadrerad enhet (minuter i kvadrat) och är svår att tolka.
- Blanda ihop n och n − 1. Kontrollera om datan är ett stickprov eller hela populationen innan du väljer formel.
- Summera avvikelserna utan att kvadrera. Summan blir alltid 0, oavsett hur stor spridningen är.
- Avrunda medelvärdet för tidigt. Behåll några decimaler genom hela beräkningen och avrunda först i sista steget.
Spridningsmått som liknar standardavvikelse
Standardavvikelse är det vanligaste spridningsmåttet, men inte det enda. Variationsbredden är skillnaden mellan största och minsta värde och är snabb att räkna ut, men påverkas helt av två enskilda värden. Kvartilavståndet mäter spridningen hos den mittersta hälften av datan och tål extremvärden bättre. Standardavvikelsen är också en byggsten i andra mått, bland annat korrelationskoefficienten, som delar samvariationen mellan två variabler med deras standardavvikelser.