Spelet med tre dörrar
Föreställ dig tre stängda dörrar. Bakom en av dem finns en vinst, bakom de andra två finns ingenting. Du pekar ut en dörr, men innan den öppnas gör programledaren, som vet var vinsten finns, något speciellt: hen öppnar en av de två andra dörrarna, alltid en som inte har vinsten bakom sig, och visar att den är tom. Kvar står din ursprungliga dörr och en stängd dörr till. Du får frågan: vill du byta till den andra stängda dörren, eller stå kvar vid ditt första val?
Svaret: byt, det fördubblar chansen
Intuitionen säger ofta att det nu står 50/50 mellan de två kvarvarande dörrarna, eftersom ett av tre alternativ försvunnit. Men det stämmer inte. Byter du dörr vinner du med sannolikheten 2/3. Står du kvar vinner du med sannolikheten 1/3. Att byta ger alltså dubbelt så stor chans att vinna som att stå kvar.
Räkna igenom alla fall
Enklaste sättet att se varför är att gå igenom samtliga möjligheter. Anta att du alltid väljer dörr 1 först, det spelar ingen roll vilken du börjar med eftersom situationen är symmetrisk. Vinsten kan ligga bakom dörr 1, 2 eller 3, med exakt en tredjedels sannolikhet vardera, innan du vet något.
Ligger vinsten bakom dörr 1, sannolikhet 1/3: du har redan valt rätt dörr. Programledaren öppnar en av de tomma dörrarna, 2 eller 3. Byter du till den sista stängda dörren förlorar du, eftersom den är tom.
Ligger vinsten bakom dörr 2, sannolikhet 1/3: programledaren kan inte öppna dörr 2, den har ju vinsten, och kan inte öppna din dörr, dörr 1. Den enda dörr som är kvar att öppna är dörr 3, som är tom. Byter du från dörr 1 till dörr 2 vinner du.
Ligger vinsten bakom dörr 3, sannolikhet 1/3: av samma skäl måste programledaren öppna dörr 2. Byter du från dörr 1 till dörr 3 vinner du.
I två av de tre lika sannolika fallen, det andra och det tredje, vinner du genom att byta. Bara i det första fallet vinner du genom att stå kvar. Det ger 2/3 chans för byte och 1/3 chans för att stå kvar, precis som facit ovan.
Varför programledarens agerande gör skillnad
Skillnaden mot en vanlig 50/50-situation ligger i att programledaren inte öppnar en dörr slumpmässigt. Hen vet var vinsten finns och väljer alltid att öppna en tom dörr som inte är din. Det agerandet läcker information: om din första gissning var fel, vilket den är i två fall av tre, pekar den kvarvarande stängda dörren, efter att programledaren plockat bort den andra tomma, alltid ut vinsten. Det är därför historiken, vilken dörr som öppnades och varför, förändrar sannolikheten på ett sätt som inte gäller för helt oberoende händelser, till skillnad från till exempel spelarens felslut, där historik inte spelar någon roll alls.
Fungerar det med fler dörrar
Samma princip, att programledarens kunskap och val av vilka tomma dörrar som öppnas läcker information, gäller även med fler än tre dörrar. Har du till exempel tio dörrar, väljer en, och programledaren öppnar åtta av de nio andra, alla tomma, och lämnar en stängd, blir det ännu mer lönsamt att byta, eftersom den kvarvarande stängda dörren bär på nästan all sannolikhet som ursprungligen fanns utspridd på de nio du inte valde.
Pröva själv
Om resonemanget ändå känns svårt att lita på går det utmärkt att testa i praktiken: simulera situationen många gånger med slumpa nummer för att slumpa fram vilken av tre dörrar som gömmer vinsten, och räkna sedan för hand hur ofta byt-strategin hade vunnit jämfört med stå kvar-strategin. Grunderna för hur sannolikheter räknas ut från grunden finns i vad sannolikhet är.