Ett konfidensintervall är ett intervall av värden som visar hur säker en skattning från ett stickprov är. I stället för att bara ange ett medelvärde, till exempel 7,2 timmars sömn, anger man ett intervall som 7,0 till 7,4 timmar med konfidensgraden 95 %. Ett 95 konfidensintervall betyder att metoden fångar det sanna värdet i 95 av 100 upprepade stickprov.
Konfidensintervall används överallt där man drar slutsatser om en hel population utifrån ett urval: opinionsmätningar, kliniska studier, kvalitetskontroll och prov i skolan. Ju smalare intervallet är, desto mer precis är skattningen.
Konfidensintervall: definition och betydelse
Inom matematisk statistik vill man ofta veta en okänd parameter, till exempel populationens medelvärde μ eller andelen väljare som stödjer ett parti. Hela populationen går sällan att mäta, så man tar ett stickprov och räknar ut en skattning.
En punktskattning ger ett enda tal, som stickprovets medelvärde x̄. Den säger inget om hur långt från det sanna värdet talet kan ligga. Ett konfidensintervall är en intervallskattning: ett intervall med en undre och en övre gräns, beräknade ur samma data, som tar hänsyn till osäkerheten i urvalet.
Konfidensgraden, eller konfidensnivån, bestäms i förväg. Vanligast är 95 %, men 90 % och 99 % förekommer också. Felrisken α är det som blir kvar: vid 95 % konfidens är α = 0,05.
Formeln för konfidensintervall för ett medelvärde
När stickprovet är stort, eller datan är normalfördelad och populationens standardavvikelse σ är känd, används formeln:
x̄ ± z · σ / √n
Här är x̄ stickprovets medelvärde, n antalet observationer och z ett tal som styrs av konfidensgraden. Uttrycket σ / √n kallas standardfelet. Är σ okänd ersätts den med stickprovets standardavvikelse s.
| Konfidensgrad | α | z-värde |
|---|---|---|
| 90 % | 0,10 | 1,645 |
| 95 % | 0,05 | 1,96 |
| 99 % | 0,01 | 2,576 |
Talet 1,96 kommer från standardiserad normalfördelning: 95 % av ytan under kurvan ligger inom 1,96 standardavvikelser från mitten.
Exempel: räkna ut ett 95 % konfidensintervall steg för steg
En undersökning mäter sömnen hos 100 slumpvis valda vuxna. Medelvärdet är 7,2 timmar och standardavvikelsen 1,0 timme.
Steg 1. Beräkna medelvärdet. x̄ = 7,2 timmar. Det går att kontrollera med räknaren för medelvärde.
Steg 2. Räkna ut standardfelet. 1,0 / √100 = 1,0 / 10 = 0,1 timme.
Steg 3. Multiplicera med z. 1,96 · 0,1 = 0,196 timme. Det är felmarginalen.
Steg 4. Dra av och lägg till. 7,2 − 0,196 = 7,004 och 7,2 + 0,196 = 7,396.
Det beräknade konfidensintervallet är alltså 7,00 till 7,40 timmar, med 95 % konfidens för populationens medelvärde.
Konfidensintervall för en andel
Opinionsmätningar redovisar andelar. Då används standardfelet √(p(1 − p) / n), där p är andelen i stickprovet som decimaltal.
Exempel: 520 av 1 000 tillfrågade svarar ja, alltså p = 0,52.
- 0,52 · 0,48 = 0,2496
- 0,2496 / 1 000 = 0,0002496
- √0,0002496 ≈ 0,0158
- 1,96 · 0,0158 ≈ 0,031, alltså 3,1 procentenheter
Intervallet blir 52 ± 3,1 procent, det vill säga 48,9 till 55,1 %. Eftersom intervallet innehåller 50 % går det inte att säga säkert att en majoritet svarar ja.
Små stickprov: t-fördelningen i stället för normalfördelningen
Är stickprovet litet och σ okänd blir z-värdet för optimistiskt. Då används t-fördelningen med n − 1 frihetsgrader, som har tjockare svansar och därför ger ett bredare intervall.
Exempel: 10 mätningar ger x̄ = 50 och s = 4. Standardfelet är 4 / √10 ≈ 1,265. Med 9 frihetsgrader är t-värdet för 95 % ungefär 2,262, så felmarginalen blir 2,262 · 1,265 ≈ 2,86. Intervallet är 47,14 till 52,86. Med z = 1,96 hade det blivit 47,52 till 52,48, alltså för smalt.
Tolkningen: vad betyder 95 procent?
Tolkningen är det som oftast blir fel. Den sanna parametern är ett fast, okänt tal. Det är intervallets gränser som är slumpmässiga: de är stokastiska variabler som ändras med varje nytt stickprov.
Rätt sätt att läsa ett 95 % konfidensintervall: om undersökningen upprepades många gånger på samma population och ett intervall räknades ut varje gång, skulle ungefär 95 % av intervallen innehålla det sanna värdet. Konfidensen gäller metoden, inte ett enskilt intervall. Ett redan beräknat intervall innehåller det sanna värdet eller inte, så det är inte strikt korrekt att säga att det finns 95 % sannolikhet att just det intervallet träffar.
Vad påverkar hur brett intervallet blir?
| Faktor | Effekt på bredden |
|---|---|
| Högre konfidensgrad | Bredare intervall |
| Större standardavvikelse | Bredare intervall |
| Större stickprov | Smalare intervall |
Eftersom n står under ett rottecken krävs fyra gånger så många observationer för att halvera felmarginalen. Spridningen i datan, som mäts med variansen eller standardavvikelsen, går däremot rakt in i formeln.
Konfidensintervall och statistisk signifikans
Ett 95 % konfidensintervall motsvarar ett tvåsidigt test på signifikansnivån 0,05. Gäller intervallet en skillnad mellan två grupper och 0 ligger utanför, är skillnaden statistiskt signifikant. Gäller det en kvot, som en relativ risk, är det värdet 1 som avgör. Intervallet säger dessutom mer än p-värdet, eftersom det visar hur stor effekten kan tänkas vara.
Vanliga frågor och misstag kring konfidensintervall
Är 95 % av all data inom intervallet?
Nej. Ett konfidensintervall för medelvärdet säger något om var populationens medelvärde ligger, inte om var enskilda individer hamnar. Spridningen mellan individer beskrivs av standardavvikelsen, och intervallet för enskilda värden är mycket bredare.
Ensidigt eller tvåsidigt konfidensintervall?
Ett tvåsidigt intervall har både undre och övre gräns. Ett ensidigt konfidensintervall begränsar parametern bara från ett håll, till exempel “högst 2 % felaktiga varor”. För ett ensidigt 95 % intervall används z = 1,645 i stället för 1,96.
Konfidensintervall i Excel
Excel har funktionen KONFIDENS, och i nyare versioner KONFIDENS.NORM och KONFIDENS.T. De returnerar felmarginalen utifrån α, standardavvikelsen och stickprovets storlek. Intervallet blir sedan medelvärdet plus och minus det värdet.