Varians är ett mått på hur utspridda värdena i en datamängd är kring medelvärdet. Variansen räknas ut som medelvärdet av de kvadrerade avvikelserna från medelvärdet: ju större varians, desto längre från mitten ligger värdena. Den betecknas med σ² (sigma i kvadrat) för en population och s² för ett stickprov.
Varians används både i beskrivande statistik, där den sammanfattar data man redan har, och i statistisk inferens, där man drar slutsatser om en hel population utifrån ett urval. Kvadratroten ur variansen är standardavvikelsen, det spridningsmått som oftast redovisas.
Vad är varians i statistik?
Inom matematisk statistik och sannolikhetsteori är varians ett mått på spridning. Två datamängder kan ha samma medelvärde men helt olika varians, och det är just det variansen fångar.
Avvikelserna kvadreras av två skäl. Summan av de vanliga avvikelserna från medelvärdet blir alltid noll, eftersom positiva och negativa avvikelser tar ut varandra. Kvadreringen gör alla avvikelser positiva och låter stora avvikelser väga tyngre än små. Priset är enheten: mäts datan i centimeter får variansen enheten cm², alltså kvadratcentimeter, vilket är svårt att tolka direkt.
Formeln för varians: population och stickprov
Formeln beror på om datan är hela populationen eller ett stickprov ur den.
Population: σ² = Σ(x − μ)² / N
Stickprov: s² = Σ(x − x̄)² / (n − 1)
Här är x varje enskilt värde, μ populationens medelvärde, x̄ stickprovets medelvärde, Σ summan av alla termer och N eller n antalet värden. I textformat skrivs populationsvariansen ofta sigma^2.
Stickprovsvariansen delar med n − 1 i stället för n. Avvikelserna räknas från stickprovets eget medelvärde, som alltid ligger lite närmare datan än populationens sanna medelvärde, och kvadratsumman blir därför i genomsnitt för liten. Att dela med n − 1 rättar till det.
Exempel: räkna ut variansen steg för steg
Fem elever får 6, 8, 9, 11 och 16 poäng på ett prov.
| Värde x | Avvikelse x − x̄ | Kvadrat av avvikelsen |
|---|---|---|
| 6 | −4 | 16 |
| 8 | −2 | 4 |
| 9 | −1 | 1 |
| 11 | 1 | 1 |
| 16 | 6 | 36 |
| Summa | 0 | 58 |
Steg 1. Beräkna medelvärdet. Summan är 50 och 50 / 5 = 10 poäng. Det går att kontrollera i räknaren för medelvärde.
Steg 2. Räkna ut avvikelserna. Dra av 10 från varje värde. Avvikelserna summerar till 0.
Steg 3. Kvadrera och summera. Summan av de kvadrerade avvikelserna är 58.
Steg 4. Dela. Är de fem eleverna hela populationen blir variansen 58 / 5 = 11,6. Är de ett stickprov ur en större grupp blir variansen 58 / 4 = 14,5.
Tabellen visar resultatet för varje värde, och det syns att eleven med 16 poäng står för 36 av 58, alltså mer än hälften av kvadratsumman. Standardavvikelsen blir √11,6 ≈ 3,41 respektive √14,5 ≈ 3,81 poäng.
Varians för en stokastisk variabel
I sannolikhetsteori beskriver variansen spridningen hos en stokastisk variabel, alltså ett slumpmässigt utfall som ett tärningskast. Den räknas då kring väntevärdet E(X) i stället för kring ett uppmätt medelvärde, och varje utfall vägs med sin sannolikhet. En praktisk formel är Var(X) = E(X²) − E(X)².
För en vanlig tärning är väntevärdet (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3,5. Medelvärdet av kvadraterna är (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) / 6 = 91/6 ≈ 15,17. Variansen blir 91/6 − 3,5² = 91/6 − 12,25 = 35/12 ≈ 2,92, och standardavvikelsen √2,92 ≈ 1,71. Mer om väntevärden finns i guiden om förväntat värde.
För en kontinuerlig fördelning, som normalfördelningen, ersätts summan av en integral, men tanken är densamma: variansen är väntevärdet av den kvadrerade avvikelsen.
Varians eller standardavvikelse: när används vilken?
| Varians | Standardavvikelse | |
|---|---|---|
| Beteckning | σ² eller s² | σ eller s |
| Enhet | Kvadrerad (poäng², cm²) | Samma som datan |
| Lätt att tolka | Nej | Ja |
| Lätt att räkna vidare med | Ja | Nej |
Standardavvikelsen redovisas när läsaren ska förstå spridningen. Variansen används när man räknar vidare, eftersom varianser för oberoende variabler går att lägga ihop, vilket standardavvikelser inte gör. Den används också i Monte Carlo-simuleringar och i modeller där man delar upp total variation i olika källor.
Räkna ut varians i Excel
I svenska Excel beräknar VARIANS.S variansen för ett stickprov och VARIANS.P för en population. Med provpoängen i cellerna A1 till A5 ger =VARIANS.S(A1:A5) svaret 14,5 och =VARIANS.P(A1:A5) svaret 11,6. Den äldre funktionen VARIANS räknar också på ett urval, men har enligt Microsoft ersatts av VARIANS.S och finns kvar för bakåtkompatibilitet.
Mer om varians
Räkneregler när datan skalas om
Lägger man till ett tal b till alla värden ändras inte variansen, eftersom spridningen är densamma. Multiplicerar man alla värden med a multipliceras variansen med a². Därför gäller Var(aX + b) = a²·Var(X).
Ett exempel är att omvandla Celsius till Fahrenheit med formeln F = 1,8·C + 32. Har temperaturerna en varians på 4 (°C)² blir variansen i Fahrenheit 1,8² · 4 = 3,24 · 4 = 12,96 (°F)². Standardavvikelsen går från 2 till 3,6 grader.
Summan av oberoende variabler
För oberoende variabler är variansen av summan lika med summan av varianserna. Två tärningar ger alltså variansen 35/12 + 35/12 = 35/6 ≈ 5,83 för ögonsumman, och standardavvikelsen √5,83 ≈ 2,42. Regeln är nog den viktigaste anledningen till att variansen används så mycket i teorin.
Varians för en slantsingling
Ett kast där krona ger 1 och klave ger 0, med sannolikheten p för krona, har variansen p(1 − p). Med ett rättvist mynt blir det 0,5 · 0,5 = 0,25, den största variansen ett sådant ja eller nej-utfall kan ha.
Vanliga misstag
- Glömma att kvadrera. Summan av avvikelserna blir alltid 0.
- Blanda ihop n och n − 1. Avgör först om datan är ett stickprov eller en hel population.
- Tolka variansen i datans enhet. En varians på 11,6 poäng² betyder inte att värdena avviker 11,6 poäng från medelvärdet.
- Avrunda för tidigt. Behåll decimalerna till sista steget.